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\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
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\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem{verification}[theorem]{验证}

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\title{傅里叶级数依$L^2$范数均方收敛}
\author{陈柏均}
\date{2025年3月11日}

\begin{document}
	\maketitle

	\tableofcontents  % 添加目录
	
	
	\newpage
	
\section{三角函数系的完备性}	
\begin{proof}
要证明级数和能表示$L^2$空间中的任意函数（三角函数系能张成整个空间），即证明级数部分和的极限可以等于$L^2$空间中的任意函数，即级数部分和（三角多项式）在$L^2$空间中稠密。

	根据魏尔斯特拉斯定理，三角多项式在连续函数中稠密，连续函数在$L^2$空间中稠密，故得证。还可以用三角函数系的正交补为0来证明。
	
这个证明很多种方法，因为$L^2$空间是希尔伯特空间。所以三角函数系是$L^2$空间的一组基。
\end{proof}
	
	\section{Bessel不等式的第二种证明}
	

\begin{proof}
	考虑在$L^2$空间中，对于标准正交基$\{e_k\}_{k=1}^\infty$和函数$f$，我们有如下等式：
	
	\[
	\left\| f - \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right\|_2^2 = \left( f - \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k,\ f - \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right)
	\]

	\[
		= \ (f, f) - \left( f, \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right) - \left( \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k, f \right) + \left( \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k, \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right)
	\]

	 第二项：
	 \[
	 \left( f, \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right) = \sum_{k=1}^n \overline{(f, e_k)} (f, e_k) = \sum_{k=1}^n |(f, e_k)|^2
	 \]
	 
	 第三项：
	 \[
	 \left( \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k, f \right)  = \sum_{k=1}^n (f, e_k) {(f, e_k)} = \sum_{k=1}^n |(f, e_k)|^2
	 \]
		
第四项

\[
\left( \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k, \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right)
\]
由于 \(e_k\) 是标准正交基底，因此交叉项消失，只剩下两边下标相同的项

\[
= \sum_{k=1}^n \left( (f, e_k) e_k, (f, e_k) e_k \right) = \sum_{k=1}^n (f, e_k) \overline{(f, e_k)} (e_k, e_k) = \sum_{k=1}^n |(f, e_k)|^2
\]

最终得
\[
\left\| f - \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right\|_2^2 = \|f\|_2^2 - \sum_{k=1}^n |(f, e_k)|^2 \geq 0
\]

		\[
		\left( \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k, \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right) = \sum_{k=1}^n |(f, e_k)|^2
		\]

	
	综合以上结果，我们得到关键不等式：
	
	\[
	\left\| f - \sum_{k=1}^n (f, e_k) e_k \right\|_2^2 = \|f\|_2^2 - \sum_{k=1}^n |(f, e_k)|^2 \geq 0
	\]
	
	由此直接导出Bessel不等式：
	
	\[
	\sum_{k=1}^n |(f, e_k)|^2 \leq \|f\|_2^2
	\]
	
	当$n \to \infty$时，级数仍然收敛：
	
	\[
	\lim_{n \to \infty} \sum_{k=-n}^n |c_k|^2 < +\infty
	\]
	
\end{proof}
	
	\section{完备赋范空间中级数收敛性的证明}
	
	\begin{proof}
	本部分将证明在完备赋范空间中，傅里叶级数的部分和序列收敛于原函数。基本思路分为三步：
	\begin{enumerate}
		\item 证明部分和序列是Cauchy列
		\item 利用空间完备性得到收敛性
		\item 验证极限函数与原函数相等
	\end{enumerate}
	
	考虑标准正交基$\{e_k\}_{k=-\infty}^\infty$，其中$e_k(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}$（已标准化）。定义部分和：
	

		\[
	S_n(f) = \sum_{k=-n}^n c_k \cdot e_k \quad \quad c_k = (f, e_k)
	\]
	
	\[
	\| S_m(f) - S_n(f) \|_2^2 = \left\| c_{n+1} e_{n+1} + \cdots + c_m e_m + c_{-m} e_{-m} + \cdots + c_{-(n+1)} e_{-(n+1)} \right\|_2^2
	\]
	
	\[
	= \int_{-\pi}^\pi \left| c_{n+1} e_{n+1} + \cdots + c_m e_m + c_{-m} e_{-m} + \cdots + c_{-(n+1)} e_{-(n+1)} \right|^2 dx
	\]
	中间项正交消掉
	
	\[
	= \int_{-\pi}^\pi |c_{n+1} e_{n+1}|^2 dx + \cdots + \int_{-\pi}^\pi |c_m e_m|^2 dx + \cdots + \int_{-\pi}^\pi |c_{-m} e_{-m}|^2 dx
	\]
	
	\[
	\leq \sum_{k=n+1}^m  |c_k|^2 + \sum_{k=-m}^{-(n+1)} |c_k|^2
	\]
	
	由bessel不等式
	\[
 \sum_{k=-n}^n |c_k|^2 \leq \|f\|_2^2 < +\infty \quad f \in L_2
	\]
	
	由柯西准则可知：
	
	\[
	\sum_{k=n+1}^m |c_k|^2 < \frac{\varepsilon}{2}, \quad \sum_{k=-m}^{-(n+1)} |c_k|^2 < \frac{\varepsilon}{2}
	\]
	
	故：
	\[
	\| S_m(f) - S_n(f) \|_2^2 < \varepsilon 
	\]
	
	这表明$\{S_n(f)\}$是Cauchy列。由于$L^2$空间完备，存在$g \in L^2$使得：

\[
\lim_{n \to \infty} S_n(f) = g
\]
	

最后验证$g = f$，对任意基元素$e_j$：
	
	\[
	(g, e_j) = \left( \lim_{n \to \infty} S_n(f), e_j \right)
	\]
	
	由内积的连续性，极限与内积可交换：
	
	\[
	= \lim_{n \to \infty} (S_n(f), e_j) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=-n}^n (f, e_k) e_k, e_j \right) = (f, e_j)
	\]
	
	得：
	
	\[
	(g, e_j) = (f, e_j) \Rightarrow (g - f, e_j) = 0 \Rightarrow g = f
	\]
	
\end{proof}
	
综上所述，故$f$在$L^2$空间下的傅里叶级数依$L^2$范数的均方收敛，则必能按范数收敛。
	


	
\end{document}